האם חייבים לשלם למתווך ?

בעקבות מודעה שפרסמנו באינטרנט התקשר עמנו מתווך א' בתאריך 11.10 בצהריים וקבע עימנו להראותה לקונה פוטנציאלי למחרת, 12.10, בשעות הערב. קבענו עם מתעניינים נוספים (פרטיים) לאותה שעה לראות את הדירה.
באותו יום (11.10) בערב חתמנו על הסכם בלעדיות עם מתווך ב'. בהסכם זה מצויינים שמות האנשים הפרטיים אשר היו מעוניינים לראות את הנכס ורשום כי באם תחתם עסקת מכר, מתווך ב' לא יהא זכאי לדמי התיווך. שמו של מתווך א' לא צויין, מאחר ולא ידענו את שמו.
בתאריך 12.10 בערב, הגענו לדירה על מנת להראותה למתווך א' וללקוח שלו, למתעניינים נוספים וכן למתווך ב' ("הבלעדי"). למותר לציין כי בשלב זה טרם עשה מתווך ב' כל פעולה למען מכירת הנכס. הלקוח של מתווך א' מעוניין לרכוש את הדירה. מה הדין במקרה כזה, שבו העיסקה מתבצעת בתוך תקופת הסכם הבלעדיות אך הפגישה להצגת הנכס, אשר בעקבותיה בוצעה מכירה, נקבעה טרם החתימה על ההסכם? האם המתווך ה"בלעדי" זכאי לדמי התיווך?