האם התובע יכול לתבוע את יתרת הסכום לאחר פסק הדין בבית הדין לתביעות קטנות?

ביני לבין תובע יש הסכם פיצויים שנוי במחלוקת בסכום כולל שהוא מעבר למקסימום המותר לתביעה בבית דין לתביעות קטנות. סכום זה מחולק לתשלומים חודשיים שווים.
לאחר שעברו 3 חודשים שבהם לא שילמתי, נתבעתי בבית הדין לתביעות קטנות על סכום של שלושת התשלומים הללו פלוס הוצאות.
במהלך הדיונים ביקש התובע להגדיל את התביעה לסכום החדש המרבי שמותר בבית הדין לתביעות קטנות (30 אלף ₪) תוך שהוא מוסיף לסכום הפיצויים הכולל המקורי פיצוי ועוגמת נפש. השופטת דחתה את הגדלת הסכום מהסיבה שסכום זה חורג מהסכום המכסימלי שהיה ניתן לתבוע בעת הגשת התביעה המקורית.
בפסק הדין נכתב שהתובע דרש סכום של 10000 ₪ מתוך סכום של 30000 ₪ וזאת על מנת להיכנס בשעריו של בית הדין לתביעות קטנות. וכן, שעל הנתבע לעמוד בהסכם הפיצויים ולשלם לתובע את הסכום החודשי שסוכם עליו. ולפיכך דין התביעה בתיק להתקבל. נפסק שעליי לשלם את סכום בתביעה בסך 10000 ₪ בתוספת ריבית והפרשי הצמדה מיום הגשת התביעה ועד התשלום בפועל.
לאחר ששילמתי את הסכום שנקבע, פנה אליי התובע בבקשה להשלים את הסכום לסכום התביעה המתוקן בסך 30000 ₪ ולא יפנה לבית משפט השלום לשם תביעת סכום זה.
האם עומדת בפני התובע אפשרות זו? האם התביעה לא נסגרה בכך שהתובע בחר לתבוע רק חלק מן הסכום בבית הדין לתביעות קטנות, והוא יכול להגיש עליה ערעור רק בבית המשפט המחוזי?