האם אפשר לפנות להוצאה לפועל מבלי לקבל תביעה מסודרת ממשרד הבריאות?

שלום
קיבלנו ממשרד הבריאות דרישה לתשלום חוב עבור אשפוז של חולה שנפטר לפני כשנה וחצי.מדובר על חולה שהיה מאושפז במוסד סיעודי במימון משרדת הבריאות, ובהתחייבות והשתתפות של המשפחה ע"ס כ-1000 ש"ח לחודש. כשלמעשה התשלום הזה הועבר ישירות מהמוסד לביטוח לאומי (באמצעות קצבת הנכות של החולה) למשרד הבריאות ללא כל התערבות של המשפחה.כשנה וחצי לאחר פטירת החולה, פנו ממשרד הבריאות שיש חוב כביכול עקב כך שביטוח לאומי קיזז להם (כשנה וחצי לאחר הפטירה) סכום, ולטענתם זה בגללנו, "וממילא נוצר חוב".טענו בפניהם שכל התשלומים שולמו מדי חודש, ואם יש להם טענות כלשהן, שיפנו לביטוח לאומי, ואם לביטוח לאומי יהיו תבעות כלשהן אלינו, הם כבר יידעו לפנות אלינו. ואנו בכלל לא צד בעניין לגבי מה שקורה ביניהם.
אך הם בשלהם, בחור בדרך הקלה (והקלוקלת) והמשיכו עם המכתבים, ועם איומים מעו"ד (שמנפיקה מכתבים לפי דרישה), וכן הגדילה לעשות העו"ד וכתבה שהיא עומדת להפעיל הליכי הוצאה, ושעל פי פקודת המיסים אין צורך בפניה לבית משפט, ואפשר ישירות לעקל רכוש/כספים של מי שחתם על ההתחייבות או של החולה.
שאלתי:
האם יש דבר כזה שמאפשר לפנות להוצאה לפועל מבלי שנקבל תביעה מסודרת? האם בהוצל"פ מסתפקים במכתב של עו"ד ממשרד הבריאות, ובלי להתייחס לכך שהחתימה על התחייבות המשפחה להשתתפות של 1000 ש"ח קויימה במלואה, ומדי חודש אכן הועבר מהביטוח לאומי הסכום הנ"ל, ועוד? (רק לאחר שנה וחצי מהפטירה "נולד" חוב שלטענתם נובע מקיזוז של ביטוח לאומי.האם כל אחד יכול להמציא חוב בגלל טענות כאלו ואחרות ולפנות להוצל"פ?
האם כל התביעה הזו בכלל חוקית? מותר לתבוע מבן אדם שבעצם שילם מדי חודש מה שהתחייב לשלם, והכל הועבר בזמן, ורק בגלל עניינים שבין משרד הבריאות לביטוח לאומי קוזז למשרד הבריאות סכום, ולטענתם זה בגללנו
.תודה