האם מגיעים לי פיצויי פיטורים במקרה של מציאת עבודה חדשה?

שלום,
במקום העבודה שלי הודיעו לי כי לא אוכל להמשיך בתפקידי (לטענתם מסיבות מקצועיות) וכי ינסו לעזור לי לחפש בזמן הקרוב ליום שבו קיבלתי את ההודעה עבודה חלופית (מדובר בארגון גדול).
כמו כן נאמר לי שעלי להמשיך בעבודה באופן רגיל בינתיים וכי אם לא תימצא לי משרה אחרת אני אפוטר ואקבל - חודש התראה - חודש שבמהלכו אקבל זמן לחפש משהו אחר ולא אצטרך להגיע לעבודה ואקבל משכורת עבור חודש מלא. הם גם המליצו לי לחפש בעצמי, כולל מחוץ לחברה.
מאז ההודעה עברו כחודש וחצי במהלכם התחלתי גם אני בחיפושים קדחתניים, בחברה ומחוצה לה.
השבוע מצאתי משהו והודעתי זאת לכח אדם בחברה. הנציגה אמרה לי שכעת אני אחשב עובד שמתפטר ולא אהיה זכאי לפיצויים או לחודש ההתראה המדובר.
אציין גם שעלי להתחיל במקום החדש, אם הכל יסתדר בתוך כשבועיים.

שאלותיי הן -
1) האם מגיעים לי פיצויי פיטורים על פי חוק ובכל מקרה - האם העובדה כי במידה ואני מחליט למשוך את כספי הפיצויים (אם מגיעים לי) פוגעת לי בפנסיה - הכוונה, האם הכספים האלו היו אמורים להגיע אלי בסוף בכל מקרה? זאת בעקבות החוק שמחייב הפרשה לפיצויים.
במידה וזה אכן כך - האם שווה בכלל להתעקש על קבלת כספי הפיצויים?
או שאולי יש חברות שנוהגות, לפנים משורת הדין להעניק פיצויים נוספים לעובדים שעזבו הועזבו?
2) האם כעת אינני זכאי לכספי חודש ההתראה כפי שהובטח לי במקרה של פיטורים? יש לזכור שעובדת חיפוש העבודה שלי היא כתוצאה מהמהלך שהם יזמו.
3) האם יש לי כאן אלמנט משפטי? אציין כי אינני רוצה להגיע למצב של התנגחות משפטית אחא רק לדעת מהן זכויותיי כדי שאדע לבקשן.

תודה על כל עזרה,