איך פועלת הפנייה לבית המשפט במקרה של סירוב בעל הדירה להכנסת שוכר חלופי?

שלום רב
לי ולשותפתי לדירה יש חוזה שכירות לדירה עד אמצע נובמבר. כיוון שהתקבלתי ללימודים בחיפה, אנחנו נאלצים לעזוב באוגוסט (שנינו נעבור לחיפה). במקרה נתקלנו בזוג שמעוניין לשכור את הדירה שלנו במקומינו ולהכנס באותו תאריך בו אנו עוזבים.
פנינו אל בעלי הדירה , אך הם לא היו מוכנים לשמוע ,וחזרו שוב ושוב על "יש לכם חוזה עד נובמבר" ו"חוזים יש לכבד". ניסינו להסביר להם שהם לא יפסידו כסף ,ושיש אנשים שמעוניינים לשכור את הדירה לתקופה של 3 שנים לפחות, אבל זה לא עזר. הם לא מוכנים לשמוע , ואפילו לא להיפגש איתנו (אחרי בקשות ותחינות חוזרות ונישנות מצידינו).
אנחנו מאוד מתוסכלים , ולא יודעים מה לעשות.
הצעתי להם , שאני אכניס שוכרת (בת דודה שלי) תחתיי ,ושהיא תשלם לי. הצ'קים והאחריות על הדירה ימשיכו להיות שלי עד לסוף תקופת החוזה. אך גם לזה הם לא מסכימים (פשוט רוע לב לדעתי)
קראתי שיש חוק (סעיף 22 לחוק השכירות) שיאפשר לנו להכניס שוכרים תחתיי , גם אם בעל הבית לא מסכים (מסיבה שהיא לא סבירה).
החוק מציין שיש לפנות אל בעל הבית בכתב , ואם הוא לא מסכים, אז ניתן לפנות אל בית המשפט.
שאלתי היא : כיצד פועל הליך הפנייה לבית המשפט? כמה זמן וכסף הוא עלול לקחת (שכן אנחנו אמורים לעזוב בתחילת אוגוסט)?
כמו כן, אשמח לכל תגובה או עזרה מצדכם לגבי מה ניתן לעשות. תודה מראש
יוני הנואש