האם אני חייב לשלם שכירות על חודש שבו המשכירה חיפשה דייר חלופי?

שלום רב,

בעלת הדירה הסכימה להשכיר לי את דירתה ל-4 חודשים, במהלך החודש הראשון היא ניסתה למצוא לי מחליף וגם מצאה ומבלי שהודיע לי בכלל כי עליי לחפש דיור חליפי. 
את ההודעה על החיפוש שלה ועל מציאת הדייר החלופי קיבלתי מן הדייר שנכנס. 
בפועל היא דרשה לקבל את סכום השכירות עבור אותו חודש משום שהדייר שמצאה לא היה מוכן להיכנס באמצע החודש. 
האם אני מחוייב לשלם לה את השכירות בגין אותו חודש על אף שהיא החליטה לחפש דייר חלופי שייקח הסכם שכירות ממושך יותר ממני וגם לא הודיעה לי על כך. 
כמו כן אציין כי לא נחתם בינינו הסכם עבור ה-4 חודשים הללו משום שהייתי דייר שלה במשך שנתיים לפני כן והוחלט בינינו בעל פה כי ההסכם יימשך לעוד 4 חודשים.

לאחר שסירבתי לשלם לה כעבור 3 חודשים מן המקרה ראיתי שהיא פדתה את צ׳ק הביטחון שהוא גבוה ב-250 ש״ח מערך השכירות החודשית.
האם עליי לתבוע אותה להחזר מלא של כל הסכום או לפחות לדרוש את הסכום הנוסף שהיא גבתה מעבר לשכירות החודשית? 

תודה מראש,

רועי.