איך ניתן להסדיר את רישום האבהות של האב בתעודת הלידה?

שלום, אני רווקה חד הורית, אמא לילדה. אבי הילדה אזרח אמריקאי. בעת הלידה הוא לא נכח וברישום בתעודת הלידה נאמר לי בביה"ח כי אין באפשרותי להוסיף את שמו לתעודת הלידה אלא רק במשרד הפנים מכיוון שהוא לא אזרח ישראלי. חודש לאחר הלידה כשהגיע לארץ ניגשנו למשרד הפנים ושם נאמר לנו שאין באפשרותינו להוסיף את שמו אלא רק עם צו בית משפט. מכיוון שלא התאפשר לו להישאר בארץ בזמנו ולקח לו שנתיים להגיע שוב, כשהגיע לאחר שנתיים פנינו לבית המשפט ופתחנו תיק, שם נאמר שהוא חייב בבדיקת די אן איי מכיוון שעבור שנתיים מהלידה. פנינו לביה"ח ע"מ לדעת עלויות ותאריכים. שוב, מכיוון שזהו תהליך ארוך ולא מיידי עליו היה לחזור לארה"ב. בסופו של דבר, הבדיקה עדיין לא נעשתה ושמו עדיין לא מופיע בתעודת הלידה של הילדה. כמובן שעדיין ברצוננו להמשיך את התהליך אך מכיוון שעליו להיות בארץ לפחות חצי שנה רצוף זה קצת מקשה את התהליך ובנתיים התיק נסגר ללא התקדמות. כמובן שהחלטנו להתחתן בנישואים אזרחיים ולהמשיך את התהליך. לאחרונה, הוא העלה את נושא הצוואה עד שההליך יושלם ע"מ שלא תיווצר בעיה להעביר את הילדה למשמרתו בארה"ב באם יקרה לי משהו. האם אין די בהצהרתו הכתובה והחתומה לבית המשפט שהוא אכן אבי הילדה? האם כדאי לי אכן לערוך צוואה? האם מישהו מבני משפחתי הוריי ואחיותיי הקשורים מאוד לילדה אכן יכולים לטרפד חוקית מהלך כזה באם קורה לי משהו אם אין צוואה?