האם מציאת שוכר חלופי משחררת אתכם מחובת התשלום לחודש האחרון בחוזה השכירות?

שלום,

היה לנו חוזה עד ה-30.9.סיכמנו כחודשיים מראש(זה לא הופיעה בחוזה אבל סוכם בעל פה עם בעלת הבית) כי אם נמצא שוכר נשוחרר מהחודש האחרון.מצאנו שוכר אשר בא לראות את הבית בשביל אמו.הוא בא פעמיים,בפעם השניה בליווי של אמו ובתו.השוכר שיבר עם בעלת הבית,סוכמו ענייני התשלומים,ענייני הערבויות ותאריך הכניסה שהוצג לו הוא 1.9 ע"י בעלת הבית.למרות שלפי החוזה היינו צריכים לעזוב ב-31 בצהריים סוכם  בע"פ שהבית יהיה מוכן לכניסה-כלומר צבוע וכו באותו יום וישארו ארגזים עד הלילה.ב-31 בעלת הבית והשוכר היו אמורים להיפגש לראשונה ולחתום על החוזה,כמו"כ,באותו יום הגענו לדירה החזרנו 2 צרורות מפתחות(מתוך 3-השלישי משוכפל ע"מ שנסיים את עניין העזיבה באותו יום).צבענו את הבית כפי שסוכם ועמדנו בתנאים.השוכר החדש הגיע אך לא הביא את הערבויות והכסף לכן בסוף לא נחתם.בעלת הבית התקשרה אלינו באותו יום והודיעה כי לא נחתם החוזה וכי קבעו להיפגש באותו השבוע שוב ושעד שאין חוזה אנחנו מחוייבים.אמרנו בסדר והאמנו כי הכל יסתדר.השוכר נראה אמין מאוד.באותו שבוע שוב הו בעיות  עם עניין  התשלום ובעלת הבית דרשה את המפתחות מהשוכר ואמרה לו כי הם לא מעוניינים להשכיר לו.לנו הם הודיעו כ4 ימים לאחר מכן מה שקרה.הם היו אמורים להחזיר לנו את התשלום של חודש זה ששולם מראש לפי החוזה אך הם מסרבים בטענה כי השוכר לא חתם ואין להם חוזה חדש.

שאלתי היא האם זה לא נקרא חוזה,הרי היתה גמירות דעת למרות שאין חתימה.(פס"ד קלמר נגד גיא??)כמו"כ,האם אנו מחויבים בתשלום הארנונה של חודש זה?

אשמח לתשובה מהירה.