האם הסמכות בעניין הגירה עם ילדים נתונה לבית הדין הרבני?

שלום וברכה,
רציתי לשאול - התגרשנו לפני שנתיים וחצי (2 ילדים, אשר כיום מעל גיל 6) ללא הסכם גירושין, וכל ההליכים היו בביה"ד הרבני, וגם לאחר הגירושין המשיכו הליכים בענייני רכוש וחזקת הילדים הכל בביה"ד הרבני, ואף ביה"ד הרבני הוציא פעמיים צווי עיכוב יציאה לילדים וכרגע יש צוו עיכוב יציאה פעיל לילדים עד לעוד כשנתיים.
יצויין שלפני חצי שנה האם פנתה לביהמ"ש בבקשה להוציא דרכונים לילדים לצורך נסיעה לארה"ב לשבועיים וזה אישר לה.. וקבע שביה"ד הרבני אמור לקבוע את הערבויות בטרם יבטל את הצו עיכוב למשך שבועיים עד שיחזרו מחו"ל, וכך אכן היה.
כיום יש תיק חזקת ילדים (שהאשה פתחה לפני הגירושין) פעיל בביה"ד הרבני.
לאחרונה גרושתי נישאה בשנית עם אמריקאי ומבקשת להגר לחו"ל עם הילדים.
השאלה האם הסמכות בעניין ההגירה נתונה לביה"ד הרבני ?
והאם זה יהיה נכון לפתוח כיום תיק "משמורת ומניעת הגירת קטינים" בביה"ד הרבני טרם היא תפתח תיק הגירה בביהמ"ש ?
הילדים קשורים אלי מאוד ואני אליהם.
אנא תשובתכם בתודה מראש,